Приложение
к Основной образовательной программе
основного общего образования
МАОУ СОШ №3 г.Ивделя п.Полуночное

ПРОГРАММА
Курса внеурочной деятельности
Направление: естественнонаучное
Класс: 11

2022 г.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Программа факультатива «Задачи с параметрами, сложные и нестандартные
задачи» рассчитана на обучающихся 11 классов, на 33 часа. Программа
предназначена для повышения эффективности подготовки, обучающихся к
итоговой аттестации по математике и предусматривает их подготовку к
дальнейшему математическому образованию. Курс предусматривает
ознакомление обучающихся с задачами повышенного уровня сложности.
Программа разработана в соответствии со следующими нормативными
документами:
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего
образования (приказ Минобрнауки РФ № 413 от 17 мая 2012 г.);
- УМК: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы.: учеб. для
общеобразоват. организаций : базовый и углубленный уровень / Ш..А.
Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Колягин, М.В. Ткачёва и др. – М.: Просвещение,
2019.
Задачи курса:
 сформировать умения решать простейшие задачи с параметрами;
 освоить приёмы решения различных типов задач, уравнений и неравенств
с параметрами;
 научить обучающихся решать задачи с параметрами более высокой, по
сравнению с обязательным уровнем, сложности;
 помочь выпускнику оценить свой потенциал с точки зрения
образовательной перспективы.
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Личностные результаты:
1.
Личностные результаты в сфере отношений обучающихся к себе, к
своему здоровью, к познанию себя:
- ориентация обучающихся на реализацию позитивных жизненных
перспектив, инициативность, креативность, готовность и способность к
личностному самоопределению, способность ставить цели и строить
жизненные планы;
- готовность и способность обеспечить себе и своим близким достойную
жизнь в процессе самостоятельной, творческой и ответственной деятельности;
- готовность и способность обучающихся к отстаиванию личного достоинства,
собственного мнения;
- готовность и способность обучающихся к саморазвитию и самовоспитанию
в соответствии с общечеловеческими ценностями и идеалами гражданского
общества.
2. Личностные результаты в сфере отношений обучающихся с
окружающими людьми:
- нравственное сознание и поведение на основе усвоения общечеловеческих
ценностей, толерантного сознания и поведения в поликультурном мире,

готовности и способности вести диалог с другими людьми, достигать в нем
взаимопонимания, находить общие цели и сотрудничать для их достижения;
- принятие гуманистических ценностей, осознанное, уважительное и
доброжелательное отношение к другому человеку, его мнению,
мировоззрению.
3. Личностные результаты в сфере отношений обучающихся к
окружающему миру, живой природе, художественной культуре:
- мировоззрение, соответствующее современному уровню развития науки,
значимости науки, готовность к научно-техническому творчеству, владение
достоверной информацией о передовых достижениях и открытиях мировой и
отечественной науки, заинтересованность в научных знаниях об устройстве
мира и общества;
- готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на
протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному
образованию как условию успешной профессиональной и общественной
деятельности.
Метапредметные результаты:
1.
Регулятивные универсальные учебные действия
Выпускник научится:
- самостоятельно определять цели, задавать параметры и критерии, по
которым можно определить, что цель достигнута;
оценивать возможные последствия достижения поставленной цели в
деятельности, собственной жизни и жизни окружающих людей, основываясь
на соображениях этики и морали;
- ставить и формулировать собственные задачи в образовательной
деятельности и жизненных ситуациях;
- оценивать ресурсы, в том числе время и другие нематериальные ресурсы,
необходимые для достижения поставленной цели;
- выбирать путь достижения цели, планировать решение поставленных задач,
оптимизируя материальные и нематериальные затраты;
- организовывать эффективный поиск ресурсов, необходимых для достижения
поставленной цели;
- сопоставлять полученный результат деятельности с поставленной заранее
целью.
2. Познавательные универсальные учебные действия
Выпускник научится:
- искать и находить обобщенные способы решения задач, в том числе,
осуществлять развернутый информационный поиск и ставить на его основе
новые (учебные и познавательные) задачи;
- критически оценивать и интерпретировать информацию с разных позиций,
распознавать и фиксировать противоречия в информационных источниках;
- использовать различные модельно-схематические средства для
представления существенных связей и отношений, а также противоречий,
выявленных в информационных источниках;

- находить и приводить критические аргументы в отношении действий и
суждений другого; спокойно и разумно относиться к критическим замечаниям
в отношении собственного суждения, рассматривать их как ресурс
собственного развития;
- выстраивать индивидуальную образовательную траекторию, учитывая
ограничения со стороны других участников и ресурсные ограничения;
- менять и удерживать разные позиции в познавательной деятельности.
3.
Коммуникативные универсальные учебные действия
Выпускник научится:
- осуществлять деловую коммуникацию как со сверстниками, так и со
взрослыми (как внутри образовательной организации, так и за ее пределами),
подбирать партнеров для деловой коммуникации исходя из соображений
результативности взаимодействия, а не личных симпатий;
- при осуществлении групповой работы быть как руководителем, так и членом
команды в разных ролях (генератор идей, критик, исполнитель, выступающий,
эксперт и т.д.);
- координировать и выполнять работу в условиях реального, виртуального и
комбинированного взаимодействия;
- развернуто, логично и точно излагать свою точку зрения с использованием
адекватных (устных и письменных) языковых средств;
- распознавать конфликтогенные ситуации и предотвращать конфликты до их
активной фазы, выстраивать деловую и образовательную коммуникацию,
избегая личностных оценочных суждений.
Предметные результаты:
Уравнения и неравенства
— Свободно оперировать понятиями: уравнение; неравенство; равносильные
уравнения и неравенства; уравнение, являющееся следствием другого
уравнения; уравнения, равносильные на множестве; равносильные
преобразования уравнений;
— решать разные виды уравнений и неравенств и их систем, в том числе
некоторые уравнения третьей и четвёртой степеней, дробно-рациональные и
иррациональные;
— овладеть основными типами показательных, логарифмических,
иррациональных, степенных уравнений и неравенств и стандартными
методами их решений и применять их при решении задач;
— применять теорему Безу к решению уравнений;
— применять теорему Виета для решения некоторых уравнений степени
выше второй; понимать смысл теорем о равносильных и неравносильных
преобразованиях уравнений и уметь их доказывать;
— владеть методами решения уравнений, неравенств и их систем, уметь
выбирать метод решения и обосновывать свой выбор;
— использовать метод интервалов для решения неравенств, в том числе
дробно-рациональных и включающих в себя иррациональные выражения;

— решать алгебраические уравнения и неравенства и их системы с
параметрами алгебраическим и графическим методами;
— владеть разными методами доказательства неравенств;
— решать уравнения в целых числах;
— изображать на плоскости множества, задаваемые уравнениями,
неравенствами и их системами;
— свободно использовать тождественные преобразования при решении
уравнений и систем уравнений;
— свободно определять тип и выбирать метод решения показательных и
логарифмических уравнений и неравенств, иррациональных уравнений и
неравенств, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем;
— свободно решать системы линейных уравнений;
— решать основные типы уравнений и неравенств с параметрами;
— применять при решении задач неравенства Коши—Буняковского, Бернулли;
— иметь представление о неравенствах между средними степенными.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
— составлять и решать уравнения, неравенства, их системы при решении
задач из других учебных предметов;
— выполнять оценку правдоподобия результатов, получаемых при решении
различных уравнений, неравенств и их систем, при решении задач из других
учебных предметов;
— составлять и решать уравнения и неравенства с параметрами при решении
задач из других учебных предметов;
— составлять уравнение, неравенство или их систему, описывающие
реальную ситуацию или прикладную задачу, интерпретировать полученные
результаты;
— использовать программные средства при решении отдельных классов
уравнений и неравенств.
Функции
— Владеть понятиями: зависимость величин, функция, аргумент и значение
функции, область определения и множество значений функции, график
зависимости, график функции, нули функции, промежутки знакопостоянства,
возрастание на числовом промежутке, убывание на числовом промежутке,
наибольшее и наименьшее значения функции на числовом промежутке,
периодическая функция, период, чётная и нечётная функции; уметь применять
эти понятия при решении задач;
— владеть понятием: степенная функция; строить её график и уметь
применять свойства степенной функции при решении задач;
— владеть понятиями: показательная функция, экспонента; строить их
графики и уметь применять свойства показательной функции при решении
задач;
— владеть понятием: логарифмическая функция; строить её график и
уметь применять свойства логарифмической функции при решении задач;

— владеть понятием: тригонометрические функции; строить их графики и
уметь применять свойства тригонометрических функций при решении задач;
— владеть понятием: обратная функция; применять это понятие при решении
задач;
— применять при решении задач свойства функций: чётность, периодичность,
ограниченность;
— применять при решении задач преобразования графиков функций;
— владеть понятиями: числовые последовательности, арифметическая и
геометрическая прогрессии;
— применять при решении задач свойства и признаки арифметической и
геометрической прогрессий;
— владеть понятием: асимптота; уметь его применять при решении задач;
— применять методы решения простейших дифференциальных уравнений
первого и второго порядков.
В повседневной жизни и при изучении других учебных предметов:
— определять по графикам и использовать для решения прикладных задач
свойства реальных процессов и зависимостей (наибольшие и наименьшие
значения,
промежутки
возрастания
и
убывания,
промежутки
знакопостоянства, асимптоты, точки перегиба, период и т. п.),
интерпретировать свойства в контексте конкретной практической ситуации;
— определять по графикам простейшие характеристики периодических
процессов в биологии, экономике, музыке, радиосвязи и т. п. (амплитуда,
период и т. п.).
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Числа и выражения
Множества натуральных, целых, рациональных, действительных чисел.
Множество комплексных чисел. Действия с комплексными числами.
Комплексно
сопряжённые
числа.
Модуль
и
аргумент
числа.
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Радианная мера угла. Тригонометрическая окружность. Синус, косинус,
тангенс и котангенс числа. Тригонометрические формулы приведения и
сложения, формулы двойного и половинного угла. Преобразование суммы и
разности тригонометрических функций в произведение и обратные
преобразования.
Степень с действительным показателем, свойства степени. Число e.
Логарифм, свойства логарифма. Десятичный и натуральный логарифмы.
Тождественные преобразования тригонометрических, логарифмических,
степенных и иррациональных выражений. Тождественные преобразования
тригонометрических выражений.
Основная теорема арифметики. Остатки и сравнения. Алгоритм Евклида.
Китайская теорема об остатках. Малая теорема Ферма. Системы
счисления, отличные от десятичных. Функция Эйлера, число и сумма
делителей натурального числа. Основная теорема алгебры. Приводимые и

неприводимые многочлены. Симметрические многочлены. Целочисленные и
целозначные многочлены.
Уравнения и неравенства
Уравнение, являющееся следствием другого уравнения; уравнения,
равносильные на множестве, равносильные преобразования уравнений.
Тригонометрические, показательные, логарифмические и иррациональные
уравнения и неравенства. Типы уравнений. Решение уравнений и неравенств.
Метод интервалов для решения неравенств. Графические методы решения
уравнений и неравенств. Решение уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.
Системы тригонометрических уравнений. Системы тригонометрических
неравенств.
Уравнения, системы уравнений с параметрами. Неравенства с параметрами.
Решение уравнений степени выше второй специальных видов. Формулы Виета. Теорема Безу. Диофантовы уравнения. Решение уравнений в
комплексных числах.
Неравенства о средних. Неравенство Бернулли.
Функции
Функция и её свойства; нули функции, промежутки знакопостоянства,
монотонность. Наибольшее и наименьшее значения функции. Периодическая
функция и её наименьший период. Чётные и нечётные функции. Функции
«дробная часть числа» y = {x} и «целая часть числа» y = [x].
Взаимно обратные функции. Графики взаимно обратных функций.
Тригонометрические функции числового аргумента y = cos x, y = sin x,
y = tg x, y = ctg x. Свойства и графики тригонометрических функций. Обратные
тригонометрические функции, их главные значения, свойства и графики.
Степенная, показательная, логарифмическая функции, их свойства и
графики.
Преобразования графиков функций: сдвиг, умножение на число, симметрия
относительно координатных осей и начала координат.

КАЛЕНДАРНО – ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
№
урока
1
2
3
4
5

Название темы
Простейшие уравнения и неравенства с
параметром
Задачи с модулем
Решение обратных задач и задач, в которых
параметр рассматривается как переменная
Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного
уравнения
Выделение полных квадратов

Количество
часов
1
1
1
1
1

Разложение на множители
1
Теорема Виета для уравнений третьей и
1
четвёртой степени
8
Задачи на единственность решения или
1
определение количества решений
9
Задачи с использованием симметрий
1
10
Задачи с применением некоторых неравенств
1
11-12 Решения, основанные на нахождении
2
наибольших и наименьших значений функций
13
Решение задач при помощи графика
1
14-15 Решение задач при помощи графика (более
2
сложные задачи)
16
Метод областей
1
17
Задачи на целые числа
1
18
Задачи с целой и дробной частью числа
1
19
Введение новой переменной для решения задач
1
20
Системы уравнений и неравенств
1
21
Использование особенностей функций (чётность,
1
монотонность, нечётность, непрерывность)
22
Функциональные уравнения и задачи с
1
итерациями
23
Задачи с условием для всех значений параметра
1
или переменной
24-25 Тригонометрические уравнения и неравенства с
2
параметром
26-27 Геометрические задачи с элементами алгебры
2
28-29 Задачи алгебры с использованием геометрии
2
30-33 Диагностические работы. Повторение.
4
Рекомендуемые информационные ресурсы в Интернете
http://www.wikipedia.org — универсальная энциклопедия
http://www.school-collection.edu.ru
—
единая
коллекция
цифровых
образовательных ресурсов.
http://www.ege.edu.ru/ Единый Государственный экзамен
http://www.standart.edu.ru/ - Федеральный Государственный Образовательный
Стандарт
http://www.edu.ru/ - Российский образовательный портал
http://www.school.edu.ru/ - Российский общеобразовательный портал
http://fcior.edu.ru/ - Федеральный центр информационно-образовательных
ресурсов
http://window.edu.ru/ - Единое окно доступа к образовательным ресурсам
6
7

Литература
1. Козко А. И., Панфёров В. С., Сергеев И. Н., Чирский В. Г. Задачи с
параметрами, сложные и нестандартные задачи. Электронное издание.
М.: МЦНМО, 2016.
2. Полный сборник решений задач по математике для поступающих в
вузы. Группа А / Под ред. М. И. Сканави. – М.: ООО «Издательство
«Мир и Образование»: ООО «Издательство Астрель», 2012.
3. Полный сборник решений задач по математике для поступающих в
вузы. Группа В / Под ред. М. И. Сканави. – М.: ООО «Издательство
«Мир и Образование»: ООО «Издательство Астрель», 2012.
4. Семенов А. В., Ященко И. В., Высоцкий И. Р., Трепалин А. С., Кукса Е.
А. Математика. Решение заданий повышенного и высокого уровня
сложности. Как получить максимальный балл на ЕГЭ. Учебное
пособие. М.: Интеллект – Центр, 2015.