Приложение
к Основной образовательной программе
основного общего образования
МАОУ СОШ №3 г.Ивделя п.Полуночное

ПРОГРАММА
Курса внеурочной деятельности
Направление: естественнонаучное
Класс: 9

Программа факультатива «Дробно-рациональные неравенства» в 9 классе составлена в
соответствии со следующими нормативными документами: Федеральный государственный
образовательный стандарт основного общего образования (приказ Минобр. России от 17 декабря 2010
года №1897), примерной государственной программы основного общего образования и учебного плана
школы на 2021-2022 учебный год.
Данная программа рассчитана для обучающихся 9 - х классов. Факультативные занятия проходят
2 раза в неделю, в общей сложности – 66 часов в учебный год. Преподавание факультатива строится как
углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса ФГОС. Углубление
реализуется на базе обучения методам и приемам решения неравенств, требующих высокой логической и
операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся.
Факультативные занятия дают возможность шире и глубже изучать программный материал, задачи
повышенной трудности, больше рассматривать теоретический материал и работать над ликвидацией
пробелов знаний учащихся, и внедрять принцип опережения.
Цель: создание условия для побуждения и развития устойчивого интереса, учащихся к
математике и её приложениям, развитие творческого и логического мышления, подготовке к олимпиадам
и конкурсам различного уровня.
Задачи:

Способствовать углублению знаний по математике при решении нестандартных
задач.

Обеспечить развитие математического кругозора, мышления, способностей,
исследовательских умений.

Научить выдвигать гипотезы, строить логические умозаключения, пользоваться
методами аналогии, анализа и синтеза.

Помочь воспитанию настойчивости, инициативы, формированию у учащихся таких
необходимых для дальнейшей успешной учебы качеств, как упорство в достижении цели,
трудолюбие, любознательность, аккуратность, внимательность, чувство ответственности,
культура личности; формированию у них умений самостоятельно приобретать и применять
знания.

Изучение математики в основной школе дает возможность обучающимся достичь
следующих результатов развития:
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
1) в личностном направлении:
•
умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи,
понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и
контрпримеры;
•
критичность мышления, умение распознавать логически некорректные
высказывания, отличать гипотезу от факта;
•
представление о математической науке как сфере человеческой деятельности, об
этапах ее развития, о ее значимости для развития цивилизации;
•
креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении
математических задач;
•
умение контролировать процесс и результат учебной математической
деятельности;
•
способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач,
решений, рассуждений;
2) в метапредметном направлении:
•
первоначальные представления об идеях и о методах математики как
универсальном языке науки и техники, средстве моделирования явлений и процессов;
•
умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других
дисциплинах, в окружающей жизни;

умение находить в различных источниках информацию, необходимую для решения
математических проблем, представлять ее в понятной форме, принимать решение в условиях
неполной и избыточной, точной и вероятностной информации;
•
умение понимать и использовать математические средства наглядности (графики,
диаграммы, таблицы, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации;
•
умение выдвигать гипотезы при решении учебных задач, понимать необходимость
их проверки;
•
умение применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть
различные стратегии решения задач;
•
понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в
соответствии с предложенным алгоритмом;
•
умение самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения
учебных математических проблем;
•
умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач
исследовательского характера;
3) в предметном направлении:
•
овладение базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания,
представление об основных изучаемых понятиях (число, геометрическая фигура, уравнение,
функция, вероятность) как важнейших математических моделях, позволяющих описывать и
изучать реальные процессы и явления;
•
умение работать с математическим текстом (анализировать, извлекать
необходимую информацию), грамотно применять математическую терминологию и символику,
использовать различные языки математики;
•
умение проводить классификации, логические обоснования, доказательства
математических утверждений;
•
умение распознавать виды математических утверждений (аксиомы, определения,
теоремы и др.), прямые и обратные теоремы;

развитие представлений о числе и числовых системах от натуральных до
действительных чисел, овладение навыками устных, письменных, инструментальных
вычислений;
•
овладение символьным языком алгебры, приемами выполнения тождественных
преобразований рациональных выражений, решения уравнений, систем уравнений, неравенств и
систем неравенств, умение использовать идею координат на плоскости для интерпретации
уравнений, неравенств, систем, умение применять алгебраические преобразования, аппарат
уравнений и неравенств для решения задач из различных разделов курса;
умение применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач
практического характера и задач из смежных дисциплин с использованием при необходимости
справочных материалов, калькулятора, компьютера.
Выпускник научится:
•
понимать и применять терминологию и символику, связанные с отношением
неравенства, свойства числовых неравенств;
•
решать линейные неравенства с одной переменной и их системы;
•
решать квадратные неравенства с опорой на графические представления;
•
применять аппарат неравенств для решения задач из различных разделов курса.
Выпускник получит возможность научиться:
•
разнообразным приёмам доказательства неравенств; уверенно применять
аппарат неравенств для решения разнообразных
•
математических задач и задач из смежных предметов, практики;

•

применять графические представления для исследования неравенств, систем
неравенств, содержащих буквенные коэффициенты.
Регулятивные универсальные учебные действия:
Выпускник научится:
• целеполаганию, включая постановку новых целей, преобразование практической задачи
в познавательную;
• самостоятельно анализировать условия достижения цели на основе учёта выделенных
учителем ориентиров действия в новом учебном материале;
• планировать пути достижения целей;
• устанавливать целевые приоритеты;
• уметь самостоятельно контролировать своё время и управлять им;
• принимать решения в проблемной ситуации на основе переговоров;
• осуществлять констатирующий и предвосхищающий контроль по результату и по
способу действия; актуальный контроль на уровне произвольного внимания;
• адекватно самостоятельно оценивать правильность выполнения действия и вносить
необходимые коррективы в исполнение как в конце действия, так и по ходу его реализации;
• основам прогнозирования как предвидения будущих событий и развития процесса.
Выпускник получит возможность научиться:
• самостоятельно ставить новые учебные цели и задачи;
• при планировании достижения целей самостоятельно, полно и адекватно учитывать
условия и средства их достижения;
• выделять альтернативные способы достижения цели и выбирать наиболее
эффективный способ;
• основам саморегуляции в учебной и познавательной деятельности в форме осознанного
управления своим поведением и деятельностью, направленной на достижение поставленных
целей;
• осуществлять познавательную рефлексию в отношении действий по решению учебных
и познавательных задач;
• адекватно оценивать объективную трудность как меру фактического или
предполагаемого расхода ресурсов на решение задачи;
• адекватно оценивать свои возможности достижения цели определённой сложности в
различных сферах самостоятельной деятельности;
• основам саморегуляции эмоциональных состояний;
• прилагать волевые усилия и преодолевать трудности и препятствия на пути
достижения целей.
Коммуникативные универсальные учебные действия:
Выпускник научится:
• учитывать разные мнения и стремиться к координации различных позиций в
сотрудничестве;
• формулировать собственное мнение и позицию, аргументировать и координировать её с
позициями партнёров в сотрудничестве при выработке общего решения в совместной
деятельности;
• устанавливать и сравнивать разные точки зрения, прежде чем принимать решения и
делать выбор;
• аргументировать свою точку зрения, спорить и отстаивать свою позицию не враждебным
для оппонентов образом;
• задавать вопросы, необходимые для организации собственной деятельности и
сотрудничества с партнёром;
• осуществлять взаимный контроль и оказывать в сотрудничестве необходимую
взаимопомощь;
• адекватно использовать речь для планирования и регуляции своей деятельности;

• адекватно использовать речевые средства для решения различных коммуникативных
задач; владеть устной и письменной речью; строить монологическое контекстное высказывание;
• организовывать и планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками,
определять цели и функции участников, способы взаимодействия; планировать общие способы
работы;
• осуществлять контроль, коррекцию, оценку действий партнёра, уметь убеждать; •
работать в группе — устанавливать рабочие отношения, эффективно сотрудничать и
способствовать продуктивной кооперации; интегрироваться в группу сверстников и строить
продуктивное взаимодействие со сверстниками и взрослыми;
• основам коммуникативной рефлексии;
• использовать адекватные языковые средства для отображения своих чувств, мыслей,
мотивов и потребностей;
• отображать в речи (описание, объяснение) содержание совершаемых действий как в
форме громкой социализированной речи, так и в форме внутренней речи.
Выпускник получит возможность научиться:
• учитывать и координировать отличные от собственной позиции других людей в
сотрудничестве;
• учитывать разные мнения и интересы и обосновывать собственную позицию; •
понимать относительность мнений и подходов к решению проблемы;
• продуктивно разрешать конфликты на основе учёта интересов и позиций всех
участников, поиска и оценки альтернативных способов разрешения конфликтов;
договариваться и приходить к общему решению в совместной деятельности, в том числе в
ситуации столкновения интересов;
• брать на себя инициативу в организации совместного действия (деловое лидерство);
• оказывать поддержку и содействие тем, от кого зависит достижение цели в
совместной деятельности;
• осуществлять коммуникативную рефлексию как осознание оснований собственных
действий и действий партнёра;
• в процессе коммуникации достаточно точно, последовательно и полно передавать
партнёру необходимую информацию как ориентир для построения действия;
• вступать в диалог, а также участвовать в коллективном обсуждении проблем,
участвовать в дискуссии и аргументировать свою позицию, владеть монологической и
диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами
родного языка;
• следовать морально-этическим и психологическим принципам общения и
сотрудничества на основе уважительного отношения к партнёрам, внимания к личности
другого, адекватного межличностного восприятия, готовности адекватно реагировать на
нужды других, в частности
оказывать помощь и эмоциональную поддержку партнёрам в процессе достижения
общей цели совместной деятельности;
• устраивать эффективные групповые обсуждения и обеспечивать обмен знаниями
между членами группы для принятия эффективных совместных решений;
• в совместной деятельности чётко формулировать цели группы и позволять её
участникам проявлять собственную энергию для достижения этих целей.
Познавательные универсальные учебные действия:
Выпускник научится:
• основам реализации проектно-исследовательской деятельности;
• проводить наблюдение и эксперимент под руководством учителя;
• осуществлять расширенный поиск информации с использованием ресурсов библиотек и
Интернета;
• создавать и преобразовывать модели и схемы для решения задач;

• осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от
конкретных условий;
• давать определение понятиям;
• устанавливать причинно-следственные связи;
• осуществлять логическую операцию установления родовидовых отношений,
ограничение понятия;
• обобщать понятия — осуществлять логическую операцию перехода от видовых
признаков к родовому понятию, от понятия с меньшим объёмом к понятию с большим объёмом;
• осуществлять сравнение, сериацию и классификацию, самостоятельно выбирая
основания и критерии для указанных логических операций;
• строить классификацию на основе дихотомического деления (на основе отрицания);
• строить логическое рассуждение, включающее установление причинно-следственных
связей;
• объяснять явления, процессы, связи и отношения, выявляемые в ходе исследования;
• основам ознакомительного, изучающего, усваивающего и поискового чтения; •
структурировать тексты, включая умение выделять главное и второстепенное, главную идею
текста, выстраивать последовательность описываемых событий;
• работать с метафорами — понимать переносный смысл выражений, понимать и
употреблять обороты речи, построенные на скрытом уподоблении, образном сближении слов.
Выпускник получит возможность научиться:
• основам рефлексивного чтения;
• ставить проблему, аргументировать её актуальность;
• самостоятельно проводить исследование на основе применения методов наблюдения и
эксперимента;
выдвигать гипотезы о связях и закономерностях событий, процессов, объектов;
• организовывать исследование с целью проверки гипотез;
• делать умозаключения (индуктивное и по аналогии) и выводы на основе аргументации.
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Дроби. Обыкновенные дроби. Основное свойство дроби. Сравнение обыкновенных
дробей. Арифметические действия с обыкновенными дробями. Нахождение части от целого и
целого по его части. Десятичные дроби. Сравнение десятичных дробей. Арифметические
действия с десятичными дробями. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной дроби
и обыкновенной в виде десятичной. Отношение; выражение отношения в процентах. Пропорция;
основное свойство пропорции.
Рациональные числа. Положительные и отрицательные числа, модуль числа.
Множество целых чисел. Множество рациональных чисел; рациональное число как отношение
m/n, где m — целое число, а n — натуральное. Сравнение рациональных чисел. Арифметические
действия с рациональными числами. Свойства арифметических действий. Степень с целым
показателем. Действительные числа. Квадратный корень из числа. Корень третьей степени.
Множество действительных чисел; представление действительных чисел бесконечными
десятичными дробями. Сравнение действительных чисел. Координатная прямая. Изображение
чисел точками координатной прямой. Числовые промежутки. Приближённое значение величины,
точность приближения. Округление натуральных чисел и десятичных дробей. Прикидка и оценка
результатов вычислений.
Алгебраические выражения. Буквенные выражения (выражения с переменными).
Числовое значение буквенного выражения. Допустимые значения переменных. Подстановка
выражений вместо переменных. Преобразование буквенных выражений на основе свойств
арифметических действий. Равенство буквенных выражений. Тождество. Степень с натуральным
показателем и её свойства. Разложение многочленов на множители. Многочлены с одной
переменной. Корень многочлена. Квадратный трёхчлен; разложение квадратного трёхчлена на
множители. Алгебраическая дробь. Основное свойство алгебраической дроби. Сложение,

вычитание, умножение, деление алгебраических дробей. Степень с целым показателем и её
свойства. Рациональные выражения и их преобразования. Доказательство тождеств. Квадратные
корни. Свойства арифметических квадратных корней и их применение к преобразованию
числовых выражений и вычислениям.
Уравнения. Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Свойства числовых
равенств. Равносильность уравнений. Линейное уравнение. Квадратное уравнение: формула
корней квадратного уравнения. Решение уравнений, сводящихся к линейным и квадратным.
Решение дробно-рациональных уравнений. Система уравнений с двумя переменными.
Равносильность систем. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными; решение
подстановкой и сложением. Примеры решения систем нелинейных уравнений с двумя
переменными. Решение текстовых задач алгебраическим способом.
Неравенства. Числовые неравенства и их свойства. Неравенство с одной переменной.
Равносильность неравенств. Линейные неравенства с одной переменной. Квадратные
неравенства. Системы неравенств с одной переменной.
Декартовы координаты на плоскости. Графическая интерпретация уравнения с двумя
переменными. График линейного уравнения с двумя переменными; угловой коэффициент
прямой; условие параллельности прямых. Графики простейших нелинейных уравнений:
парабола, гипербола, окружность. Графическая интерпретация систем уравнений с двумя
переменными.
Математика в историческом развитии. Зарождение алгебры в недрах арифметики. АлХорезми. Рождение буквенной символики. П. Ферма. Ф. Виет. Р. Декарт. История вопроса о
нахождении формул корней алгебраических уравнений, неразрешимость в радикалах уравнений
степени, большей четырёх. Н. Тарталья, Дж. Кардано, Н. X. Абель. Э. Галуа. Задача Леонардо
Пизанского (Фибоначчи) о кроликах, числа Фибоначчи. Задача о шахматной доске.
Календарно – тематическое планирование
№ урока
1-2
3-4
5-6
7-9
10-11
12-13
14-15
16-17
18-20
21-22
23-24
25-27
28-29
30-32
33-34
35-36
37-38
39-41
42-44
45-46
47-48

Название темы
Неравенства с одним неизвестным
Равносильные неравенства
Основные теоремы о равносильности неравенств
Решение неравенства первой степени с одним неизвестным
Тренировочные работы
Решение неравенств второй степени (квадратных) с одним
неизвестным
Тренировочные работы
Решение целых рациональных неравенств с одним
неизвестным. Метод интервалов.
Решение целых рациональных неравенств с одним
неизвестным. Обобщенный метод интервалов.
Тренировочные работы
Дробно-рациональные неравенства.
Решение дробно-рациональных неравенств.
Тренировочные работы
Решение систем рациональных неравенств с одним
неизвестным.
Тренировочные работы
Нахождение области определения.
Неравенства с неизвестным под знаком абсолютной
величины.
Решение неравенств с неизвестным под знаком абсолютной
величины.
Тренировочные работы
Иррациональные неравенства.
Решение иррациональных неравенств.

Количество
часов
2
2
2
3
2
2
2
2
3
2
2
3
2
3
2
2
2
3
3
2
2

49-50
51-53
54-55
56-58
59-60
61-66

Тренировочные работы
Решение более сложных неравенств.
Тренировочные работы
Различные неравенства.
Тренировочные работы
Повторение

2
3
2
3
2
6

Литература
1.
Полный сборник решений задач по математике для поступающих в вузы. Группа А / Под
ред. М. И. Сканави. – М.: ООО «Издательство «Мир и Образование»: ООО «Издательство
Астрель», 2012.
2.
Шахмейстер А.Х. Дробно-рациональные неравенства. – 3-е изд., исправленное и
дополненное – М.: Издательство МЦНМО : СПб.: Петроглиф»: «Виктория плюс», 2008.
3.
Примерные программы по учебным предметам. Математика. 5 – 9 классы: проект. – 3-е
изд., перераб. – М.: Просвещение, 2011.